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陕西省西安经发中学高三数学复习教案:专题三 点、直线、平面之间的位置关系(培优版)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 陕西

上传时间:2015-06-22

下载次数:16次

资料类型:教案

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资料概述与简介

                    【知识要点】
1. 公理:
公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
        符号表示:。]
公理2: 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
        推论1: 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;
        推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
        推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
       符号表示:。
2. 直线之间的位置关系
       (1)平行:在同一平面内,且没有交点。
       (2)相交:在同一平面内,有且只有一个交点。
       (3)异面:不同在任何一个平面内,没有公共点
公理4(平行公理): 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
       符号表示:。
定理: 空间中如果有两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
3. 直线与平面之间的位置关系
       (1)直线在平面内----有无数个公共点
      (2)直线与平面相交--有且只有一个公共点
      (3)直线与平面平行----没有公共点
      注:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
4. 平面与平面之间的位置关系
       (1)两个平面平行---没有公共点
        (2)两个平面相交---有一条公共直线
【典例精析】
1. 证明点、线共面
方法要点:
(1)证明一个图形是平面图形的主要依据:
   ①若一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面内(公理1)
   ②经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(公理3),及其3个推论。
(2)证明一个图形是平面图形的常用方法:
   ①先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内。
   ②过有关的点、线分别作多个平面,再证明这些平面重合。
   ③反证法。
1. 三条直线、、互相平行且与顺次交于点A、B、C,求证:这四条直线共面。
2.证明点共线
  证明三点共线常用以下方法:
  ①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,由公理2可知,这些点均在交线上。
  ②首先选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点在此直线上。
2. 已知:E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,求证:点B、D、P在同一条直线上。
3.证明线共点
  证明线共点常用以下方法:
   1. 证明空间三线共点的方法.通常先将三线看作某三个两两相交平面的交线,再利用平面的基本性质即可证明。
   2. 证明空间多条直线共点的方法.证明它们通过同一点.
3. 三个平面两两相交,有三条交线,其中,求证:相交于一点或两两平行.
4.证明关于“有且只有”的命题
方法要点:(1)“有”表示存在;“只有”表示唯一;“且”表示同时成立,所以此题既要证“存在性”,又要证明“唯一性”。
          (2) 证明存在性,常常采用“找出来”(“作出来”)的方法.
        (3)证明“唯一性”命题常采用“反证法”。
4. 已知直线m与直线a、直线b分别交于A、B,且a//b。求证:过a、b、m有且只有一个平面。
训练题:求证:过两异面直线其中一条直线作与另一直线平行的平面有且只有一个。
5.作截面
5. 正方体中,P、Q、R分别是AB、AD、、的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是(   )
     (A)三角形     (B)四边形      (C)五边形      (D)六边形
变式:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M、N分别是A1B1和CC1的中点。
     (1)画出D、M、N的平面与平面BB1C1C及平面AA1B1B的交线;
     (2)设过D、M、N三点的平面与棱交于点P,求的值。
6.等角定理的应用(证明空间两个角相等)
6. 在长方体中,E、F、G分别是AB、、BC的中点,
   求证: ∽ 
7.证明(判断)两直线为异面直线.常用的方法:
  ①反证法;
  ②根据异面直线的判断定理:“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”。]
7. 已知P平面ABC,PA≠PB,CM是AB边上的中线,PN⊥AB于N,
     求证:CM和PN是异面直线。
8.异面直线所成的角
  异面直线所成的角基本求法:
     ①通过平移直线,将异面问题化为共面问题解决.其步骤是:一作二证三求
      ②当异面直线依附于某几何体,可利用该几何体中的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点;
8. 已知如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是(    )
	(A)       (B)       (C)         (D)
变式1:A点是ΔBCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,当时,求异面直线AD和BC所成的角。
变式2:已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成角的余弦值为(      )
        (A).    (B).   (C).    (D).
【优化训练】
1. 下列有四个命题
  ①已知,若点且点,则点
  ②已知,则。
  ③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”;
  ④若两平面有一条公共直线,则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上。
  其中正确命题的个数是(    )
  (A)1      (B)2        (C)3        (D)4
2. 下列各图是正方形或正四面体,分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个图是(  )
]
          (A)             (B)              (C)                (D)
3. 空间四点共面但不共线,则下列结论中成立的是(  )
  (A)四点中必有三点共线
  (B)四点中必有三点不共线       
  (C) AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行
  (D)AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线相交
4. 在空间四边形的边上分别有点若,则(     )
  (A)一定在直线上                       (B) 一定在直线上
  (C) 可能在直线上, 可能在直线上    (D) 不在直线上,也不在直线上.
5. 在空间,给出下列命题:
  ①两组对应边相等,且它们的夹角也相等的三角形全等;②对边相等的四边形是平行四边形;
  ③有三个角是直角的四边形是矩形;      ④有两组对应角相等的两个三角形是相似三角形。
上述判断中,正确的是(     )
  (A)仅①、②成立     (B)仅③、④成立     (C)仅②、③成立     (D)仅①、④成立
6. 两平面,若第三个平面不经过,则三个平面把空间分成(   )个部分。
  (A)8      (B)7或8        (C)6或7或8         (D)4或6或7或8
7. 设、b、c是空间三条直线,给出下列四个命题:
  ① 若与b相交,与c相交,则b与c也相交;② 若与b垂直,与c垂直,则b与c也垂直;
  ③ 若与b共面,与c共面,则b与c也共面;④ 若与b异面,与c异面,则b与c也异面.
   其中正确命题的个数是(     )
  (A)0     (B)1        (C)2        (D)4
8. 若直线、与直线相交成等角,则、的位置关系是(   )
  (A)异面      (B)平行        (C)相交       (D)可能相交、平行,也可能异面
9. 给出下面四个命题:
  ①在空间,过直线外一点,作这直线的平行线只能有一条;
  ②既不平行,又不相交的两条不同的直线是异面直线;
  ③两两互相平行的三条直线可确定3个平面;
  ④设、为异面直线,则与b没有公共点,反之也成立。
 其中正确命题的个数是(     )
  (A)1      (B)2        (C)3        (D)4
10. 空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连结这个四边形各边中点,所组成的四边形是(    )
  (A) 梯形       (B) 矩形      (C) 平行四边形      (D)正方形
11. 如图,平面相交与EF,分别在平面内作,则AC和BD的关系是(     )
  (A) 异面          (B) 平行
  (C) 相交          (D) 不能确定
12. 如图,在四面体中,分别是的中的中点,若则 与所成的角为(     ),
	(A)      (B)      (C)       (D)
13. 异面直线、成角,直线,则直线与所成的角的范围是(    )
	(A) [,]    (B) [,]   (C) [,]  (D) [,]


		

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