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2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理数答案解析(正式版)

资料类别: 数学(理)/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2015-06-11

下载次数:5次

资料类型:试卷

文档大小:2.37M

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资料概述与简介

                    注意事项:
    1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
    2、本卷共8小题,每小题5分,共40分.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
试题分析:,所以,故选A.
考点:集合运算.
(2)设变量 满足约束条件 ,则目标函数的最大值为
(A)3        (B)4       (C)18         (D)40
【答案】C
 
考点:线性规划.
(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为
(A) (B)6(C)14(D)18
【答案】B
【解析】
试题分析:模拟法:输入;
                      不成立;
                      不成立
                      成立
                      输出,故选B.
考点:程序框图.
(4)设 ,则“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
考点:充分条件与必要条件.
(5)如图,在圆 中, 是弦 的三等分点,弦 分别经过点 .若 ,则线段 的长为
(A)      (B)3     (C)     (D)
【答案】A
【解析】
试题分析:由相交弦定理可知,,又因为是弦的三等分点,所以,所以,故选A.
考点:相交弦定理.
(6)已知双曲线 的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上,则双曲线的方程为
(A) (B)(C)(D)
【答案】D
考点:1.双曲线的标准方程及几何性质;2.抛物线的标准方程及几何性质.
(7)已知定义在 上的函数 ( 为实数)为偶函数,记 ,则 的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
试题分析:因为函数为偶函数,所以,即,所以
所以,故选C.
考点:1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算.
(8)已知函数 函数 ,其中,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是
(A) (B) (C)(D)
【答案】D
【解析】
试题分析:由得,
所以,
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知.
考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合.
第II卷
注意事项:
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题,共计110分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9) 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数的值为             .
【答案】
【解析】
试题分析:是纯度数,所以,即.
考点:1.复数相关定义;2.复数运算.
(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为             . 
【答案】
【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为,高为的圆柱,两端是底面半径为,高为的圆锥,所以该几何体的体积.
考点:1.三视图;2.旋转体体积.
(11)曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为              .
【答案】
【解析】
试题分析:两曲线的交点坐标为,所以它们所围成的封闭图形的面积
考点:定积分几何意义.
(12)在 的展开式中,的系数为        .
【答案】
考点:二项式定理及二项展开式的通项.
(13)在 中,内角 所对的边分别为 ,已知的面积为 , 则的值为            .
【答案】
【解析】
试题分析:因为,所以,
又,解方程组得,由余弦定理得
,所以.
考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理.
(14)在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为                      .
【答案】
【解析】
试题分析:因为,,
,,
       
当且仅当即时的最小值为.
考点:1.向量的几何运算;2.向量的数量积;3.基本不等式.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分13分)已知函数,
   (I)求最小正周期;
   (II)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(I); (II) ,.
考点:1.两角和与差的正余弦公式;2.二倍角的正余弦公式;3.三角函数的图象与性质.
16. (本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
   (I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率;
   (II)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】(I) ;
(II) 随机变量的分布列为
| |  |||  |
| |  |||  |
【解析】
试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量的所有可能值,求出其相应的概率,即可求概率分布列及期望.
试题解析:(I)由已知,有
               
所以事件发生的概率为.
(II)随机变量的所有可能取值为
                
所以随机变量的分布列为
| |  |||  |
| |  |||  |
所以随机变量的数学期望
考点:1.古典概型;2.互斥事件;3.离散型随机变量的分布列与数学期望.
17.  (本小题满分13分)如图,在四棱柱中,侧棱,,,
,且点M和N分别为的中点.
   (I)求证:;
   (II)求二面角的正弦值;
   (III)设E为棱上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段的长
【答案】(I)见解析; (II) ; (III) .
【解析】
试题分析:以为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线的方向向量与平面的法向量,两个向量的乘积等于即可;(II)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可;(III) 设,代入线面角公式计算可解出的值,即可求出的长.
试题解析:如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,
,又因为分别为和的中点,得.
(I)证明:依题意,可得为平面的一个法向量,,
由此可得,,又因为直线平面,所以平面
(II),设为平面的法向量,则
,即,不妨设,可得,
设为平面的一个法向量,则,又,得
,不妨设,可得
因此有,于是,
所以二面角的正弦值为.
(III)依题意,可设,其中,则,从而,又为平面的一个法向量,由已知得
,整理得,
又因为,解得,
    所以线段的长为.
考点:1.直线和平面平行和垂直的判定与性质;2.二面角、直线与平面所成的角;3.空间向量的应用.
18. (本小题满分13分)已知数列满足,且
成等差数列.
   (I)求q的值和的通项公式;
   (II)设,求数列的前n项和.
【答案】(I) ; (II) .
【解析】
试题分析:(I)由得 先求出,分为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列的通项公式,用错位相减法求和即可.
试题解析:(I) 由已知,有,即,
所以,又因为,故,由,得,
当时,,
当时,,
所以的通项公式为
考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前项和公式.3.错位相减法.
19. (本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆截得的线段的长为c,.
   (I)求直线FM的斜率;
   (II)求椭圆的方程;
   (III)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
【答案】(I) ; (II)  ;(III) .
【解析】
试题分析:(I) 由椭圆知识先求出的关系,设直线直线的方程为,求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率的值; (II)由(I)设椭圆方程为,直线与椭圆方程联立,求出点的坐标,由可求出,从而可求椭圆方程.(III)设出直线:,与椭圆方程联立,求得,求出的范围,即可求直线的斜率的取值范围.
试题解析:(I) 由已知有,又由,可得,,
设直线的斜率为,则直线的方程为,由已知有
,解得.
(II)由(I)得椭圆方程为,直线的方程为,两个方程联立,消去,整理得
,解得或,因为点在第一象限,可得的坐标为,由,解得,所以椭圆方程为
(III)设点的坐标为,直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,消去,整理得,又由已知,得,解得
或,
   设直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,整理可得.
   ①当时,有,因此,于是,得
   ②当时,有,因此,于是,得
   综上,直线的斜率的取值范围是
考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式.
20. (本小题满分14分)已知函数,其中.
(I)讨论的单调性;
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
(III)若关于的方程有两个正实根,求证: 
【答案】(I) 当为奇数时,在,上单调递减,在内单调递增;当为偶数时,在上单调递增,在上单调递减. (II)见解析; (III)见解析.
试题解析:(I)由,可得,其中且,
下面分两种情况讨论:
(1)当为奇数时:
令,解得或,
当变化时,的变化情况如下表:
|      |          |       |        |
|      |          |       |        |
|      |          |       |        |
所以,在,上单调递减,在内单调递增.
(2)当为偶数时,
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
所以,在上单调递增,在上单调递减.
 (II)证明:设点的坐标为,则,,曲线在点处的切线方程为,即,令,即,则
由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以在内单调递增,在内单调递减,所以对任意的正实数都有,即对任意的正实数,都有.
 (III)证明:不妨设,由(II)知,设方程的根为,可得
,当时,在上单调递减,又由(II)知可得.
   类似的,设曲线在原点处的切线方程为,可得,当,
,即对任意,
   设方程的根为,可得,因为在上单调递增,且
   考点:1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式.
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