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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标ⅰ卷)理数答案解析(正式版)

资料类别: 数学(理)/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2015-06-11

下载次数:24次

资料类型:试卷

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资料概述与简介

                    绝密★启封并使用完毕前
试题类型:A
注意事项:
	1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
	2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
	3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
	4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
1. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
     1. 设复数z满足=i,则|z|=
(A)1   (B)   (C)  (D)2
【答案】A

考点:1.复数的运算;2.复数的模.
(2)sin20°cos10°-con160°sin10°=
       (A)     (B)  (C)  (D)
【答案】D
【解析】
试题分析:原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=,故选D.
考点:诱导公式;两角和与差的正余弦公式
(3)设命题P:nN,>,则P为
       (A)nN, >   (B) nN, ≤
       (C)nN, ≤   (D) nN, =
【答案】C
【解析】
试题分析::,故选C.
考点:特称命题的否定
(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为
	(A)0.648   	(B)0.432		(C)0.36		(D)0.312
【答案】A
【解析】
试题分析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为=0.648,故选A.
考点:独立重复试验;互斥事件和概率公式
(5)已知M(x0,y0)是双曲线C:上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,若<0,则y0的取值范围是
(A)(-,)		(B)(-,)
(C)(,)   (D)(,)
【答案】A
考点:向量数量积;双曲线的标准方程
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有(  )
		A.14斛       B.22斛       C.36斛    D.66斛
【答案】B
考点:圆锥的体积公式
(7)设D为ABC所在平面内一点,则(  )
(A)  (B)
(C)   (D)
【答案】A
【解析】
试题分析:由题知=,故选A.
考点:平面向量运算
 (8) 函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为
(A)(),k   (b)(),k
(C)(),k      (D)(),k
【答案】D
【解析】
试题分析:由五点作图知,,解得,,所以,令,解得<<,,故单调减区间为(,),,故选D.
考点:三角函数图像与性质
(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A)5    (B)6  (C)7  (D)8
     
【答案】C
【解析】
试题分析:执行第1次,t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循环,
执行第2次,S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环,
执行第3次,S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环,
执行第4次,S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环,
执行第5次,S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环,
执行第6次,S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环,
执行第7次,S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,输出n=7,故选C.
考点:程序框图
的展开式中,的系数为
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
【答案】C
【解析】
试题分析:在的5个因式中,2个取因式中剩余的3个因式中1个取,其余因式取y,故的系数为=30,故选 C.
考点:排列组合;二项式定理
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20,则r=
(A)1(B)2(C)4(D)8
【答案】B
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式
12. 设函数=,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得0,则的取值范围是(  )
A.[-,1)   B. [-,)   C. [,)   D. [,1)
【答案】D
【解析】
试题分析:设=,,由题知存在唯一的整数,使得在直线的下方.
因为,所以当时,<0,当时,>0,所以当时,=,
当时,=-1,,直线恒过(1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故选D.
考点:导数的综合应用
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=
【答案】1
考点:函数的奇偶性
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为    。
【答案】
【解析】
试题分析:设圆心为(,0),则半径为,则,解得,故圆的方程为.]
考点:椭圆的几何性质;圆的标准方程
(15)若x,y满足约束条件,则的最大值为            .
【答案】3
【解析】
试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.
考点:线性规划解法
(16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是
【答案】(,)
【解析】
试题分析:如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,在△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得,即,解得=,平移AD ,当D与C重合时,AB最短,此时与AB交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,,即,解得BF=,所以AB的取值范围为(,).
考点:正余弦定理;数形结合思想
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
     为数列{}的前n项和.已知>0,=.
(Ⅰ)求{}的通项公式:
(Ⅱ)设 ,求数列}的前n项和
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式,可以判断数列{}是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{}的通项公式,再用拆项消去法求其前n项和. 
试题解析:(Ⅰ)当时,,因为,所以=3,
当时,==,即,因为,所以=2,
所以数列{}是首项为3,公差为2的等差数列,
所以=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,
所以数列{}前n项和为= =.
考点:数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法
(18)如图,,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。
(1)证明:平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
]
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
∴,∴EG⊥FG,
∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC,
∵EG面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC.      ……6分
(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以的方向为轴,y轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由(Ⅰ)可得A(0,-,0),E(1,0, ),F(-1,0,),C(0,,0),∴=(1,,),=(-1,-,).…10分
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.              ……12分
考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x1和年销售量y1(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
|[pi|   |  |                |                 |                        |                        |
|c]      |        |       |                     |                      |                             |                             |
|46.6    |56.3    |6.8    |289.8                |1.6                   |1469                         |108.8                        |
表中w1 =1, , =
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
           i. 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
          ii. 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据,,……,,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
【答案】(Ⅰ)适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型(Ⅱ)(Ⅲ)46.24
∴关于的回归方程为.……6分
考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线(>0)交与M,N两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。
【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)存在
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求出M,N的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程,设出M,N的坐标和P点坐标,利用设而不求思想,将直线PM,PN的斜率之和用表示出来,利用直线PM,PN的斜率为0,即可求出关系,从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析:(Ⅰ)由题设可得,,或,.
∵,故在=处的到数值为,C在处的切线方程为
,即.
故在=-处的到数值为-,C在处的切线方程为
,即.
   故所求切线方程为或.  ……5分
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:
  设P(0,b)为复合题意得点,,,直线PM,PN的斜率分别为.
  将代入C得方程整理得.
  ∴.
  ∴==.
  当时,有=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
  故∠OPM=∠OPN,所以符合题意.     ……12分
考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=
(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线 的切线;
(Ⅱ)用  表示m,n中的最小值,设函数 ,讨论h(x)零点的个数
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当或时,由一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的值;(Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数,若零点不容易求解,则对再分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)设曲线与轴相切于点,则,,即,解得.
因此,当时,轴是曲线的切线.    ……5分
(Ⅱ)当时,,从而,
   ∴在(1,+∞)无零点.
   当=1时,若,则,,故=1是的零点;若,则,,故=1不是的零点.
当时,,所以只需考虑在(0,1)的零点个数.
(ⅰ)若或,则在(0,1)无零点,故在(0,1)单调,而,,所以当时,在(0,1)有一个零点;当0时,在(0,1)无零点.
   (ⅱ)若,则在(0,)单调递减,在(,1)单调递增,故当=时,取的最小值,最小值为=.
   1. 若>0,即<<0,在(0,1)无零点.
   2. 若=0,即,则在(0,1)有唯一零点;
   3. 若<0,即,由于,,所以当时,在(0,1)有两个零点;当时,在(0,1)有一个零点.…10分
综上,当或时,由一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点.    ……12分
考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
(22)(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于E
     I. 若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;
(Ⅱ)若,求∠ACB的大小. 
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)60°
考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
     I. 求,的极坐标方程;
    II. 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得,的极坐标方程;(Ⅱ)将将代入即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析:(Ⅰ)因为,
∴的极坐标方程为,的极坐标方程为.……5分
 (Ⅱ)将代入,得,解得=,=,|MN|=-=,
因为的半径为1,则的面积=.
考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
	已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解;(Ⅱ)将化为分段函数,求出与轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于的不等式,即可解出的取值范围.
考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法]
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