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2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理数答案解析(正式版)

资料类别: 数学(理)/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2015-06-11

下载次数:12次

资料类型:试卷

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资料概述与简介

                       本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.1.复数
   A.				B.			C.			D.
   【答案】A
   【解析】
   试题分析:
   考点:复数运算
2.若,满足则的最大值为
   A.0					B.1				C.		       D.2
   【答案】D
   【解析】
   试题分析:如图,先画出可行域,由于,则,令,作直线,在可行域中作平行线,得最优解,此时直线的截距最大,取得最小值2.
   考点:线性规划;
3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为
   A.			B.			C.		D.
   【答案】B
   考点:程序框图
4.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的
   A.充分而不必要条件						B.必要而不充分条件
   C.充分必要条件							D.既不充分也不必要条件
   【答案】B
   【解析】
   试题分析:因为,是两个不同的平面,是直线且.若“”,则平面可能相交也可能平行,不能推出,反过来若,,则有,则“”是“”的必要而不充分条件.
   考点:1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件.
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
    A.           B.            C.            D.5
   【答案】C
   【解析】
   试题分析:根据三视图恢复成三棱锥,其中平面ABC,取AB棱的中点D,连接CD、PD,有,底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2,AD=BD=1,PC=1, ,,,,三棱锥表面积.
   考点:1.三视图;2.三棱锥的表面积.
6.设是等差数列. 下列结论中正确的是
   A.若,则               B.若,则
   C.若,则               D.若,则
   【答案】C
   考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法
7.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是
   A.                          B.
   C.                          D.
   【答案】C
   【解析】
   考点:1.函数图象;2.解不等式.
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
   A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
   B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
   C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
   D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
   【答案】
   【解析】
   试题分析:“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错误;B中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油,C错误,D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D.
   考点:1.函数应用问题;2.对“燃油效率”新定义的理解;3.对图象的理解.
第Ⅱ卷(非选择题  共110分)
二、填空题(共6个小题,每题5分,共30分)
9.在的展开式中,的系数为		.(用数字作答)
   【答案】40
   【解析】
   试题分析:利用通项公式,,令,得出的系数为
   考点:二项式定理
10.已知双曲线的一条渐近线为,则		.
   【答案】
   考点:双曲线的几何性质
11.在极坐标系中,点到直线的距离为		.
   【答案】1
   【解析】
   试题分析:先把点极坐标化为直角坐标,再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用点到直线距离公式.
   考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2.点到直线距离.
12.在中,,,,则		.
   【答案】1
   【解析】
   试题分析:
   考点:正弦定理、余弦定理
13.在中,点,满足,.若,则			;			.
   【答案】
   【解析】
   试题分析:特殊化,不妨设,利用坐标法,以A为原点,AB为轴,为轴,建立直角坐标系,,,则,.
   考点:平面向量
14.设函数
   	①若,则的最小值为		;
   ②若恰有2个零点,则实数的取值范围是		.
   【答案】(1)1,(2) 或.
   考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想.
三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15.(本小题13分)
   已知函数.
   (Ⅰ) 求的最小正周期;
   (Ⅱ) 求在区间上的最小值.
   【答案】(1),(2)
   【解析】
   试题分析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为形式,再利用周期公式求出周期,第二步由于则可求出,借助正弦函数图象 找出在这个范围内当,即时,取得最小值为:.
   试题解析:(Ⅰ) 
   
   (1)的最小正周期为;
   (2),当时,取得最小值为:
   考点: 1.三角函数式的恒等变形;2.三角函数图像与性质.
16.(本小题13分)
   ,两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
   组:10,11,12,13,14,15,16
   组:12,13,15,16,17,14,
   假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙.
   (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;
   (Ⅱ) 如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
   (Ⅲ) 当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
   【答案】(1),(2),(3)或
17.(本小题14分)
   如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点.
   (Ⅰ) 求证:;
   (Ⅱ) 求二面角的余弦值;
   (Ⅲ) 若平面,求的值.
]
   【答案】(1)证明见解析,(2),(3)
   【解析】
   试题分析:证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面平面,借助性质定理证明平面EFCB,进而得出线线垂直,第二步建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,平面AEF的法向量易得,只需求平面AEB的法向量,设平面AEB的法向量,利用线线垂直,数量积为零,列方程求出法向量,再根据二面角公式求出法向量的余弦值;第三步由于,要想平面,只需,利用向量的坐标,借助数量积为零,求出的值,根据实际问题予以取舍.
   试题解析:(Ⅰ)由于平面平面,为等边三角形,为的中点,则,根据面面垂直性质定理,所以平面EFCB,又平面,则.]
   (Ⅱ)取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,,,,由于平面与轴垂直,则设平面的法向量为,设平面的法向量,,,则
   ,二面角的余弦值,由二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.
   (Ⅲ)有(1)知平面EFCB,则,若平面,只需,,又,,解得
   或,由于,则.
   考点:1.线线垂直的证明;2.利用法向量求二面角;3.利用数量积解决垂直问题.
18.(本小题13分)
	已知函数.
	(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
   (Ⅱ)求证:当时,;
   (Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.
   【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)的最大值为2.
   试题解析:(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为;
   (Ⅱ)当时,,即不等式,对成立,设
   ,则,当时,,故在(0,1)上为增函数,则,因此对,
   成立;
   (Ⅲ)使成立,,等价于,;
   ,
   当时,,函数在(0,1)上位增函数,,符合题意;
   当时,令,
|                      |                      |                      |                      |
|                      |-           |0                          |+                          |
|                      |                      |极小值                     |                      |
   ,显然不成立,
   综上所述可知:的最大值为2.
   考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.
19.(本小题14分)
   已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.
   (Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);
   (Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
   【答案】
   【解析】
   试题分析:椭圆:的离心率为,点在椭圆上,利用条件列方程组,解出待定系数,写出椭圆方程;由点和点,写出PA直线方程,令求出x值,写出直线与x轴交点坐标;由点,写出直线的方程,令求出x值,写出点N的坐标,设,求出和,利用二者相等,求出,则存在点使得.
   试题解析:(Ⅰ)由于椭圆:过点且离心率为, ,,椭圆的方程为.
  ,直线的方程为:,令,;
  考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题.
20.(本小题13分)
   已知数列满足:,,且.
   记集合.
   (Ⅰ)若,写出集合的所有元素;
   (Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;
   (Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.
    【答案】(1),(2)证明见解析,(3)8
    【解析】
    ①试题分析:(Ⅰ)由,可知则;(Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,用数学归纳法证明对任意,是3的倍数,当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或,所以是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,用数学归纳法证明对任意,是3的倍数;第三步由于中的元素都不超过36,中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,由定义可知,和除以9的余数一样,分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况,研究集合M中的元素个数,最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.
   试题解析:(Ⅰ)由已知可知:
   ]
   (Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,可用用数学归纳法证明对任意,是3的倍数,当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或,所以是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.
   (Ⅲ)由于中的元素都不超过36,由,易得,类似可得,其次中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M中的数除以9的余数,由定义可知,和除以9的余数一样,
考点:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.
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