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专题13.2 极坐标与参数方程-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学(文)

资料类别: 数学(文)/同步

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资料类型:高考真题

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资料概述与简介

                    第十三章  选讲部分
专题2  极坐标与参数方程(文科)
【三年高考】
1. 【2016年高考北京】在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则______.
【答案】2
【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程:直线为过圆圆心,因此,故填:.
2.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=.
(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
【解析】⑴		(均为参数),∴	①,   ∴为以为圆心,为半径的圆.方程为,∵,∴	即为的极坐标方程
⑵	,两边同乘得,,即	②,    :化为普通方程为,由题意:和的公共方程所在直线即为
①—②得:,即为,∴,∴
3. 【2016高考新课标2】在直角坐标系中,圆的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数), 与交于两点,,求的斜率.
4. 【2016高考新课标3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.
【解析】(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,. 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
5.【2015高考新课标2】在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.
(Ⅰ).求与交点的直角坐标;
(Ⅱ).若与相交于点,与相交于点,求的最大值.
【解析】(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.联立解得或所以与交点的直角坐标为和.
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中.因此得到极坐标为,的极坐标为.所以,当时,取得最大值,最大值为.
6.【2015高考福建】在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
【解析】(Ⅰ)消去参数t,得到圆的普通方程为,由,得,所以直线l的直角坐标方程为.
(Ⅱ)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即解得
7.【2015高考陕西】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极
轴建立极坐标系,的极坐标方程为.
(I)写出的直角坐标方程;
(II)为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求的直角坐标.
8.【2015高考新课标1】在直角坐标系中,直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求,的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积.
【解析】(Ⅰ)因为,
∴的极坐标方程为,的极坐标方程为.
 (Ⅱ)将代入,得,解得=,=,|MN|=-=,因为的半径为1,则的面积=.
9. 【2014高考辽宁】将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线与C的交点为,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
【解析】(Ⅰ)设为圆上的点,在已知变换下位C上点(x,y),依题意,得 由 得,即曲线C的方程为.,故C得参数方程为  (t为参数).
(Ⅱ)由解得:,或.不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为,于是所求直线方程为,化极坐标方程,并整理得
,即.
10. 【2014高考全国1第23题】已知曲线,直线:(为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值.
11. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
【解析】(Ⅰ)设点M是C上任意一点,则由可得C的普通方程为:,
即,所以C的参数方程为是参数,.
(Ⅱ)设D点坐标为,由(Ⅰ)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,
因为C在点D处的切线与垂直,所以直线GD与的斜率相同,,,
故D点的直角坐标为,即.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对参数方程和极坐标的考查,主要考查直线和圆的参数方程,椭圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目,考查学生的转化能力,分析问题、解决问题的能力,以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用.该知识点为高考选考内容之一,试题以解答题形式为主,难度一般中档偏下.
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容.坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想,以及两种坐标的关系与互化;极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程;参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程,能进行普通方程与参数方程的互化,并会选择适当的参数,用参数方程表示某些曲线,解决相关问题.参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点.预测2017年高考仍然考查参数方程与普通方程,极坐标方程与普通方程互化,重点是直线和圆的参数方程,极坐标方程,考查学生的转化与化归能力.题型主要为解答题形式,侧重考查参数方程和普通方程的互化,极坐标系与普通坐标系的互化.复习建议:复习本讲时,要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法为主;紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义,同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.
【2017年高考考点定位】
高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题;考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题.高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化,并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题,交点问题和位置关系的判定.
【考点1】极坐标
【备考知识梳理】
1.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面上取一个定点叫做极点;自点引一条射线叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系(如图).
(2)极坐标:设是平面上的任一点,极点与点的距离叫做点的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的叫做点的极角,记为.有序数对称为点的极坐标,记作.
一般地,不做特殊说明时,我们认为,可取任意实数.
2.极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为和(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:
|点    |直角坐标                         |极坐标                                       |
|互化公式   |                                 |                                             |
3.常见曲线的极坐标方程
|曲线                                               |图形                         |极坐标方程                                   |
|圆心在极点,半径为的圆                        |                        |                                        |
|圆心为,半径为的圆                       |                        |                                        |
|圆心为,半径为的圆                       |                        |                                        |
|过极点,倾斜角为的直线                        |                        |(1)()                             |
|                                                   |                             |或()                               |
|                                                   |                             |(2)  ()和                          |
|                                                   |                             | ()                                |
|过点,与极轴垂直的直线                        |                        |                                   |
|过点,与极轴平行的直线                        |                        |                                   |
若圆心为,半径为的圆方程为
4.注意:(1)在将直角坐标化为极坐标求极角时,易忽视判断点所在的象限(即角的终边的位置).
(2)在极坐标系下,点的极坐标不惟一性易忽视.极坐标 ,,表示同一点的坐标.
【规律方法技巧】
1. 确定极坐标方程的四要素
极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.
2.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴正向重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换.
(3)直角坐标化为极坐标的步骤
①运用
②在内由求时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.
(4)直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化直角坐标系的情境进行.
3.求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
4.注意: (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
5.曲线的极坐标方程的应用:解决极坐标方程问题一般有两种思路.一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.
【考点针对训练】
1.【2016届江西省萍乡市高三下学期第二次模拟】在直角坐标系中,以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,由曲线上的点按坐标变换得到曲线.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若射线和与曲线的交点分别为点,求.
【解析】(1),即,代入,得,即曲线的方程为.由,所以的极坐标方程为,即.(未化简,保留上式也可)
(2)将代入,得,即,,代入,得,即,.所以.
2.【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为,射线θ=,θ=+,θ=-,θ=+与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;
(Ⅱ)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
【考点2】参数方程
【备考知识梳理】
1.参数方程的意义
在平面直角坐标系中,如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,则该方程叫曲线的参数方程,联系变数的变数是参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.常见曲线的参数方程的一般形式
(1)经过点,倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数).
设是直线上的任一点,则表示有向线段的数量.
(2)圆的参数方程 (为参数).
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆的参数方程为 (为参数).
双曲线的参数方程为 (为参数).
抛物线的参数方程为 (为参数).
3.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么,就是曲线的参数方程.
【规律方法技巧】
1.在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线.
2.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中的几何意义,有如下常用结论:
(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为,则弦长;
(2)定点是弦的中点⇒;
(3)设弦中点为,则点对应的参数值(由此可求及中点坐标).
3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.如果问题中的方程都是参数方程,那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程.
4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④恒等式(三角的或代数的)消元法.参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围,这一点最易忽视.
5.利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点,倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数).若为直线上两点,其对应的参数分别为,线段的中点为,点所对应的参数为,则以下结论在解题中经常用到:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
【考点针对训练】
1. 【2016届吉林四平一中高三五模】过点作倾斜角为的直线与曲线交于点.
(1)写出直线的一个参数方程;
(2)求的最小值及相应的值.
2.【2016届云南昆明高三适应性检测三】已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系.在直角坐标系中,倾斜角为的直线过点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(Ⅱ)设点和点的极坐标分别为,若直线经过点,且与曲线相交于两点,求的面积.
【解析】(Ⅰ)曲线化为:,再化为直角坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅱ)由(Ⅰ)将点的极坐标化为直角坐标得,易知直线的倾斜角,所以直线的参数方程为(为参数),将的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得,整理得:,设为方程的两个根,则,所以. 由极坐标与直角坐标互化公式得点的直角坐标,易求点到直线的距离为,所以.
【应试技巧点拨】
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴正向重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换.
2.求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
3.参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线.
4.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中的几何意义,有如下常用结论:
(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为,则弦长;
(2)定点是弦的中点⇒;
(3)设弦中点为,则点对应的参数值
(由此可求及中点坐标).
5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.
1.【2016年湖北八校高三四次联考】以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆以为圆心,为半径.
(Ⅰ)求直线的参数方程和圆的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线与圆相交于两点,求.
【解析】(Ⅰ)因为直线过点,倾斜角为,所以直线的参数方程为即,(答案不唯一,可酌情给分)圆的极坐标方程为.
(Ⅱ)把代入,得,,设点对应的参数分别为,则,
2.【2016年安徽安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角).
(I)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(II)若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小.
3. 【2016年江西高三九校联考】已知直线为参数), 曲线  (为参数).
(1)设与相交于两点,求;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
【解析】(1)的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.
(2)的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.
4. 【2016年安徽淮北一中高三模考】在直角坐标系中,圆的参数方程(为参数).以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
【解析】(1)圆的普通方程为,又,所以圆的极坐标方程为;
(2)设为点的极坐标,则有,解得,设为点的极坐标,,解得,由于,所以,所以线段的长为2.
5. 【2016年山西榆林高三二次模考】已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与正半轴重合,且长度单位相同,直线的极坐标方程为,点,(参数).
(1)求点轨迹的直角坐标方程;
(2)求点到直线距离的最大值.
【解析】(1)设点,则且,消去参数得点的轨迹方程:
(2)由得:,即,所以直线的直角坐标方程为;由于的轨迹为圆,圆心到直线距离为,由数形结合得点到直线距离的最大值为.
6. 【2016年江西南昌高三一模】己知曲线C的极坐标方程是ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).
( I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
( II)若直线,与曲线c相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角a的值.
7.【2016年江西师大附中高三测试】已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
 (1)求l的极坐标方程;
 (2)过点任作一直线交曲线C于两点,求的最小值.
【解析】(1);曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.
(2)曲线的方程可知曲线为圆心在原点半径为的圆.设圆心到直线的距离为,则可得,.由分析可知,.
8.【2016年河南八市高三三模】在极坐标系中,已知曲线,过极点作射线与曲线交于点,在射线上取一点,使.
(1)求点的轨迹的极坐标方程;
(2)以极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,若直线与(1)中的曲线相交于点(异于点),与曲线(为参数)相交于点,求的值.
【解析】(Ⅰ)设,则,又,∴为所求C1的极坐标方程.
(Ⅱ)C2的极坐标方程为,把代入C2得,把代入C1得,
9.【2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量】在极坐标系中,已知三点.
(1)求经过的圆的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角 坐标系,圆的参数方程为(是参数),若圆与圆外切,求实数的值.
10.【2016届河北沧州市高三4月调研】在直角坐标系中,直线(为参数,),在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,若直线与曲线交于两点,且,求.
【解析】(Ⅰ),得到,因为则曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)将代入,得到.又因为,则,所以解得:,或,则或.
11. 【2016届黑龙江省大庆实验中学高三上学期开学考试】已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程.
(Ⅰ)判断直线与曲线的位置关系;
(Ⅱ)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
【解析】(Ⅰ)直线 的普通方程为,曲线的直角坐标系下的方程为,圆心到直线的距离为
所以直线与曲线的位置关系为相离.
(Ⅱ)设,则.
12. 【2015届东北三省哈尔滨师大附中等三校高三第一次模拟】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.
【解析】(1)曲线C的极坐标方程是,化为,可得直角坐标方程:.
直线L的参数方程是(t为参数),消去参数t可得.
(2)把(t为参数),代入方程:化为:,
由△>0,解得.∴.∵,∴,解得.又满足△>0.∴实数.
13. 【2016届云南师范大学附属中学高考适应性】在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:为参数),以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:=6.
(1)在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值;
(2)过点M(一1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A, B两点,求点M到A,B两点的距离之积.
【解析】(1)直线l:化成普通方程为.设点P的坐标为,则点P到直线l的距离为:,∴当时,点,此时.
(2)曲线C化成普通方程为,即,的参数方程为(t为参数)代入化简得,得,所以.
14.【2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测】已知曲线的参数方程为(为参数),直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设点为曲线上的动点,求点到直线距离的最大值.
15.【2015届江西高安中学高三命题中心模拟三】在平面直角坐标系中,(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,直线的极坐标方程为..
(1)试求
(2)设点对应的轨迹为曲线,若曲线上存在四个点到直线的距离为1,求实数的取值范围.
【解析】(1)由(为参数)消去参数得:
故动点A的普通方程为 ;
(2)由(1)知,动点A的轨迹是以为圆心,2为半径的圆.由展开得:,∴的普方程为:,要使圆上有四个点到的距离为1,则必须满足,解得.
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1. 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:,直线:.
(Ⅰ)判断曲线C与直线的位置关系,写出直线的参数方程;
(Ⅱ)设直线与曲线C的两个交点分别为A、B,求的值.
【解析】(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,与y轴的交点为,将代入椭圆方程左边得,故点在椭圆的内部.所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为(为参数).
【入选理由】本题考查参数方程与极坐标方程问题,利用直线的参数方程的特征实现直线的参数方程与普通方程的互化,由实现曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;求弦长通过联立直线的参数方程与曲线的方程即可求解,意在考查学生转化和化归思想的应用能力和基本运算能力.本题考查知识基础,有一定的综合性,故选此题.
2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的非负半轴重合.若曲线的极坐标方程为
,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.
【解析】(1)由,得,所以,即曲线的直角坐标方程为.由,消去参数,得直线的普通方程为.
(2)由(1)知直线的参数方程转化为,代入曲线的直角坐标方程得.由韦达定理,得,则.
【入选理由】本题主要考查直线的参数方程与圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等知识,意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力.本题常规题,有一定的综合性,难度适中,故选此题.
3.在直角坐标系中,直线的方程是,圆的参数方程是(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线和圆的极坐标方程;
(Ⅱ)已知射线(其中)与圆交于,两点,射线与直线交于点,若,求的值.
【入选理由】本题主要考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的转化、圆的参数方程和极坐标方程的转化等基础知识,意在考查转化与化归能力、逻辑思维能力、基本运算能力.本题常规题,考查知识基础,难度适中,故选此题.
4.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)求圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)为极点, 为圆上的两点,且,求的最大值.
【解析】(Ⅰ)∵圆的极坐标方程为,∴,又∵,,,∴,∴圆的直角坐标方程为.
(Ⅱ)不妨设的极角为,的极角为,则,∴当时,取得最大值.
【入选理由】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,涉及极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化等基础知识,意在考查转化与化归能力、基本运算能力,方程思想与数形结合思想.本题考查知识基础,有一定的新意,故选此题.
5.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:=0,直线过点M(0,4)且斜率为-2.
(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线的标准参数方程;
(Ⅱ)若直线与曲线C交于、两点,求的值.
【解析】(Ⅰ)由=0得,,∵,∴曲线的直角坐标方程为,设直线的倾斜角为,则,∴为钝角,由平方关系可解得,,∴直线的标准参数方程为(为参数).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线的标准参数方程为(为参数),代入整理得,设点对应的参数分别为,,则,则====.
【入选理由】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用等基础知识,意在考查转化与化归能力、基本运算能力,方程思想与数形结合思想.本题考查知识基础,是一个常规题,也是高考常考题型,故选此题.
6.已知直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是为参数,以极点为原点,极轴为轴正方向建立直角坐标系,点,直线与曲线交于,两点.
(Ⅰ)求直线与曲线的普通方程;
(Ⅱ)求的值.
【解析】(Ⅰ)∵,∴,∴直线的普通方程为,∵消去得,曲线的普通方程为.
(Ⅱ)显然直线,联立得,消去得,∴,,不妨设,,∵,
∴,,∴.
【入选理由】本题主要考查极坐标方程、参数方程与普通方程的转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,意在考查转化与化归能力、基本运算能力,方程思想与数形结合思想.本题考查知识基础,是一个常规题,也是高考常考题型,故选此题.
7.在平面直角坐标系和及坐标系中,极点与原点重合,极轴与轴非负半轴重合,直线的参数方程为(为参数),曲线:.
(Ⅰ)将直线的方程化为普通方程,将曲线的方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于,求.
【入选理由】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化、直线参数方程应用等基础知识,意在考查学生转化和化归思想的应用能力和基本运算能力.本题给出直线的参数方程与圆的极坐标方程,要求考生据此求直线弦长,此类型可以说是高考的必考点,故选此题.
8.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)设为参数,若,求直线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于,设,且,求实数的值.
【解析】(1)将,代入直线的极坐标方程得直角坐标方程.再将,代入直线的直角坐标方程,得,所以直线的参数方程为(为参数).
(2)由,得,由代入,得.将直线的参数方程与的直角坐标方程联立,
得,(*)   .设点分别对应参数恰为上述方程的根,则.由题设得,即.
由(*)得,,则有,得或.
因为,所以. 
【入选理由】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用,意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应用.本题考查知识基础,综合性强,是高考出题方向,故选此题.
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