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专题12.2 推理与证明-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学(文)

资料类别: 数学(文)/同步

所属版本: 通用

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资料类型:高考真题

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资料概述与简介

                    第十二章 算法初步、推理与证明、复数
专题2  推理与证明(文科)
【三年高考】
1.【2016高考新课标2文数】有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后
说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,
丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.
8.【2016高考山东文数】观察下列等式:
照此规律,_________.
3.【2015高考陕西,文16】观察下列等式:
…………
据此规律,第n个等式可为______________________.
4.【2014高考福建卷文第16题】已知集合,且下列三个关系:(((有且只有一个正确,则.
5. 【2014高考全国1卷文第14题】.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过城市;
乙说:我没去过城市;
丙说:我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为________.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小.
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
推理与证明是数学的基础思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,推理一般包括合情推理与演绎推理,在解决问题的过程中,合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明,其中数学归纳法是将无穷的归纳过程,根据归纳原理转化为有限的特殊(直接验证和演绎推理相结合)的过程,要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点,需要采用多种数学方法才能解决问题,如:函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等,对学生的知识与能力要求较高,是对学生思维品质和逻辑推理能力,表述能力的全面考查,可以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区分度,增强选拔功能的重要题型,因此在最近几年的高考试题中,推理与证明问题正在成为一个热点题型,并且经常作为压轴题出现. 预测2017年高考将会有题目用到推理证明的方法.复习建议:推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建立合理的解题思路.
【2017年高考考点定位】
高考的考查:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;
【考点1】合情推理与演绎推理
【备考知识梳理】
1.合情推理
(1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理叫做合情推理.
(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:
①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;
b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.
②类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
a.类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解;
b.类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;
c.类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.
2.演绎推理
(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.
(2)模式:三段论
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(3)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.
【规律方法技巧】
1. 归纳推理与类比推理之区别:(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.
2.演绎推理问题的处理方法
从思维过程的指向来看,演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提,而作出关于该类事物的判断的思维形式,因此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形,结论则是大前提和小前提的逻辑结果.
3.应用合情推理应注意的问题:
(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.
(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.
注意:归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.
4.归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);
③检验猜想.
(2)类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
③检验猜想.
5.演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论.
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
6.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠,但它是由特殊到一般,由具体到抽象的认知过程,是发现一般规律的重要方法.
类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则会犯机械类比的错误.
演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的,其结论一定是正确,一定要注意推理过程的正确性与完备性.
【考点针对训练】
1. 【2016届山西省榆林市二模】观察下列等式:

照此规律, ________.
2. 【2016届湖北省沙市中学高三下第三次月考】在平面直角坐标系中,满足的点的集合对应的平面图形的面积为;类似的,在空间直角坐标系中,满足,的点的集合对应的空间几何体的体积为(   )
A.       B.           C.            D.
【考点2】直接证明与间接证明
【备考知识梳理】
1.直接证明
(1)综合法:
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法.
框图表示:→→→…→
(2)分析法:
从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
分析法的思维特点是:执果索因;
分析法的书写格式: 要证明命题Q为真,只需要证明命题为真,
从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……
这只需要证明命题P为真,而已知P为真,故命题Q必为真
框图表示:→→→…→.
2.间接证明
反证法:要证明某一结论A是正确的,但不直接证明,而是先去证明A的反面(非A)是错误的,从而断定A是正确的,即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法.
【规律方法技巧】
1. 明晰三种证题的一般规律
(1)综合法证题的一般规律:
用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论.
(2)分析法证题的一般规律:
分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.
(3)反证法证题的一般规律:
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者是非A.即在同一讨论过程中,A和非A有且仅有一个是正确的,不能有第三种情况出现.
2.综合法证题的思路:
3.分析法证题的技巧:
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
4.反证法证明问题的一般步骤:
(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)
(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论.
5.反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有:(1)易导出与已知矛盾的命题;(2)否定性命题;(3)唯一性命题;(4)至少至多型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命题等.
【考点针对训练】
1. 【2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】已知数列满足:.
(1)证明:;(2)求证:.
2. 用反证法证明命题“若,,则三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为(  )
A.三个实数中最多有一个不大于零     B.三个实数中最多有两个小于零
C.三个实数中至少有两个小于零       D.三个实数中至少有一个不大于零
【应试技巧点拨】
1.逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.
2.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠,但它是由特殊到一般,由具体到抽象的认知过程,是发现一般规律的重要方法.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
3.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则会犯机械类比的错误.
4.反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有:(1)易导出与已知矛盾的命题;(2)否定性命题;(3)唯一性命题;(4)至少至多型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命题等.证明问题的一般步骤:
(1)反设; (2)归谬; (3)立论.注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论.
1. 设则(    )
A.都不大于        B.都不小于   C.至少有一个不大于       D.至少有一个不小于
2.【2016届河南省八市高三4月质检】已知,观察下列算式:; ,…;若,则的值为(   )
A.      B.      C.      D.
3. 【2016届河北省衡水中学高三一模】定义:分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如:,依次类推可得:,其中.设,则的最小值为(   )
A.        B.        C.        D.
4. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】在一个俱乐部里,有老实人和骗子两类成员,老实人永远说真话,骗子永远说假话,一次我们和俱乐部的四个成员谈天,我们便问他们:“你们是什么人,是老实人?还是骗子?”这四个人的回答如下:]
第一个人说:“我们四个人全都是骗子”;
第二个人说:“我们当中只有一个人是骗子”;
第三个人说:“我们四个人中有两个人是骗子”;
第四个人说:“我是老实人”.
请判断一下,第四个人是老实人吗?         .(请用“是”或“否”作答)
5. 【2016届山东省潍坊一中高三三轮冲刺模拟】已知,观察下列各式:
类比得:,则          .
6. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】对于函数给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究的结果,计算 =               .
7. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周】如图甲所示,在直角中,、,是垂足,则有,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥中,平面,平面,为垂足,且在内,类比直角三角形中的射影定理,则有           .
8. 【2016届湖北省沙市中学高三下第三次月考】在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点,顶点C在该曲线上.一同学已正确地推得:当m>n>0时,有e(sinA+sinB)=sinC.类似地,当m>0、n<0时,有e(      )=sinC.
9.【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】设数列满足,.
(1)求证:;
(2)求证:.
10.【2016届吉林省毓文中学高三高考热身】如图,在直角坐标系中,圆与轴负半轴交于点,过点的直线,分别与圆交于,两点.
(Ⅰ)若,,求的面积;
(Ⅱ)若直线过点,证明:为定值,并求此定值.
11. 【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为,由下往上的六个点:,,,,,的横、纵坐标分别对应数列()的前项,如下表所示:
按如此规律下去,则         .
12. 【2015届江西省上饶市重点中学高三六校第二次联考】把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵,然后,擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数,得到如图乙所示的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列.若902,则           .
13. 【2015届北京市石景山区高三3月统一测试(一模)】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是         .
14. 【2015届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试】在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为α,β,则有cos2α+cos2β=1.类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCD­A1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=      _.
15.【2015届江西省吉安市一中高三上学期期中考试】设函数,观察:
根据以上事实,由归纳推理可得:]
当且时,=__________。
【一年原创真预测】
1.从,推广到第个等式为         .
2. “若为椭圆()上异于长轴端点的任一点, 分别是左、右焦点, 若, ,则.”类比椭圆的性质,可得“若为双曲线()右支上除顶点外的任一点, 分别是左、右焦点, 若, ,则          .”
3. 已知正整数的3次幂有如下分解规律:
;;;;…若的分解中最小的数为,则的值为             .
:



                

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