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专题9.2 圆与点、线、圆的位置关系-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学(文)

资料类别: 数学(文)/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2016-09-13

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资料类型:高考真题

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资料概述与简介

                    
【三年高考】
1. 【2016高考山东文数】已知圆M:截直线所得线段的长度是,则圆M与圆N:的位置关系是(    )
(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离
【答案】B
2.【2016高考北京文数】圆的圆心到直线的距离为(  )
A.1         B.2         C.        D.2
【答案】C
【解析】圆心坐标为,由点到直线的距离公式可知,故选C.
3.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线:与圆交于两点,过分别
作的垂线与轴交于两点,则_____________.
【答案】4
4.【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点在圆C上,且圆心到直线
的距离为,则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】设,则,故圆C的方程为
5. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为            .
【答案】
【解析】由题意直线即为,圆的标准方程为,
所以圆心到直线的距离,所以,
故,所以.故填.
6. 【2015高考湖南,文13】若直线与圆相交于A,B两点,且(O为坐标原点),则=_____.
【答案】
【解析】如图直线与圆 交于A、B两点,O为坐标原点,且,则圆心(0,0)到直线的距离为 , .故答案为2.
7.【2015高考重庆,文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________.
【答案】
8.【2015高考广东,文20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;
若不存在,说明理由.
【解析】(1)圆化为,所以圆的圆心坐标为
(2)设线段的中点,由圆的性质可得垂直于直线.设直线的方程为(易知直线的斜率存在),所以,,所以,所以,即.因为动直线与圆相交,所以,所以.所以,所以,解得或,又因为,所以.所以满足,即的轨迹的方程为.

结合图形,可得对于轴对称下方的圆弧,当或时,直线与轴对称下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知:当或时,直线与轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述,当或时,直线与曲线只有一个交点.
9.【2015高考新课标1,文20】已知过点且斜率为k的直线l与圆C:交于M,N两点.
(I)求k的取值范围;
(II),其中O为坐标原点,求.
10.【2014高考湖南卷文第6题】若圆与圆外切,则(   )
             
【答案】C
【解析】因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
11.【2014高考安徽卷文第6题】过点的直线与圆有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是(     )
A.       B.     C.     D.
【答案】D
12.【2014高考全国1文第20题】已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.
求的轨迹方程;
当时,求的方程及的面积
【解析】(1)先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为,所以圆心为,半径为4,根据求曲线方程的方法可设,由向量的知识和几何关系:,运用向量数量积运算可得方程:;(2)由第(1)中所求可知M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,加之题中条件,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而,不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析:(1)圆C的方程可化为,所以圆心为,半径为4,设,则,,由题设知,故,即.【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对圆与点、直线、圆的位置关系这部分的考查,主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系,从题型来看,高考中一般以选择题和填空的形式考查,难度较低,部分省份会与其他圆锥曲线部分结合起来,综合考察.
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 直线和圆是两个基本图形,对它们的研究,既可以从几何的角度来探索它们的位置关系,又可以从方程角度来解决一些度量问题,体现用代数方法研究几何问题的思想,同时又是研究圆锥曲线的基础,所以对这部分内容的复习要倍加关注.对直线与圆位置关系的考查.一般会涉及弦长、距离的的计算和圆的切线问题和直线与圆位置关系的判定,还可能会考查轨迹问题和与圆有关的最值问题,其中渗透数形结合思想和转化与化归思想的运用.圆与圆位置关系的考查,属于简单题,主要涉及位置关系的判定和长度问题.预测2017年直线与圆的位置关系可能涉及,新课标卷可能会出一道选择题,也有可能出一道解答题.
【2017年高考考点定位】
高考对圆与直线、圆位置关系的考查有三种主要形式:一是考查直线与圆的位置关系;二是考查圆的切线问题;三是与圆有关的弦长问题;四是考查圆与圆的位置关系;五是考查与圆有关的最值问题;六是考查与圆有关的轨迹问题,注意几何法在解题中的重大作用.
【考点1】点、直线、圆与圆的位置关系
【备考知识梳理】
1.直线与圆的位置关系有三种:(1)若,;(2);(3).还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来判断:(1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点),直线与圆相交;(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点),直线与圆相切;(3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点),直线与圆相离;即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系:相切d=rΔ=0;相交d0;相离d>rΔ<0.
2. 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,. ;;;; ;
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决
【规律方法技巧】
1.直线与圆的位置关系问题,既可以用几何判断,也可以用代数判断,通常利用几何判断较为简洁,即圆心到直线的距离与圆的半径比较.
2.点与圆的位置关系判断,只需将点的坐标代入圆的方程左边,当左边大于右边时,点在圆外;当左边小于右边时,点在园内;当左边等于右边时,点在圆上.
3.圆与圆的位置关系判定,既可以利用圆心距与两圆半径和差比较,也可以利用两圆的公切线条数来判定,两圆相切注意分内切或外切讨论.
4. 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
【考点针对训练】
1. 【2016届湖北省八校高三二联】已知圆方程为,若:;:圆上至多有3个点到直线的距离为1,则是的(     )
  A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件  C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
2. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】已知圆与圆关于直线对称, 且点在圆上.
(1)判断圆与圆的位置关系;
(2)设为圆上任意一点, 与不共线, 为的平分线, 且交于.求证:与的面积之比为定值.
【解析】(1)圆的圆心关于直线的对称点为,圆的方程为,
圆与圆相离.
(2)设,则,
,为的角平分线上一点, 到与的距离相等, 为定值.
【考点2】圆的切线问题
【备考知识梳理】
过切点和圆心的直线垂直于切线,即圆心到直线的距离等于半径
【规律方法技巧】
1.直线与圆相切的判定以及与切线有关的参数问题都可以利用圆心到切线距离等于半径列方程判断或求解;涉及切线长的问题,可以利用勾股定理求.
2.对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率k不存在情形.
3. 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.
【考点针对训练】
1. 【2016年河南省八市重点高中质检】过点作圆的切线有且只有一条,则该切线的方程为(   )
A.     B.     C.     D.
【答案】B
2. 【2016届陕西师大附中高三下第十次模拟】从圆外一点向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为(    )
A.         B.          C.         D. 
【答案】D
【考点3】弦长问题
【备考知识梳理】
求圆的弦长的常用方法
(1)几何法:设圆的半径为,弦心距为,弦长为l,则.
(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:.
注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题.]
【规律方法技巧】
处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.
【考点针对训练】
1. 【2016届山东省济宁市高三下第三次模拟】已知圆被直线所截得的线段的长度等于2,则等于(   )
A.         B.            C.         D.
【答案】B
【解析】因圆心到直线的距离是,半弦长为,故,解之得,应选B.
2. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】已知圆截直线所得弦长为6,则实数的值为(   )
A.8            B.11          C.14         D.17
【答案】B
【解析】圆,圆心,半径.故弦心距.再由弦长公式可得;故选B.
【考点4】与圆有关的最值问题
【备考知识梳理】
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有:
1)斜率型最值问题;
2)截距型最值问题;
3)距离型最值问题;
【规律方法技巧】
解决与圆有关的最值问题关键在于能正确认识所给问题的含义,明确几何意义,结合几何图形
数形结合法求解与圆有关的最值问题:
(1)形如t=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.
【考点针对训练】
1. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且与圆 相交所得弦的长为,为坐标原点,则面积的最小值为         .]
【答案】3
2.【2016届河南省洛阳市高三考前练习二】已知点是直线()上一动点,是圆的两条切线,为切点,若四边形的最小面积是2,则的值为________.
【答案】2
【解析】先求圆的半径,四边形PACB的最小面积是2,转化为三角形PBC的面积是1,求出切线长,再求PC的距离也就是圆心到直线的距离,可解k的值.圆的圆心(0,1),半径是r=1,由圆的性质知:,四边形PACB的最小面积是2,(d是切线长),∴,圆心到直线的距离就是PC的最小值,.
【考点5】与圆有关的轨迹问题
【备考知识梳理】
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下做法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.
(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
【规律方法技巧】
利用圆的定义或者探讨曲线上点的坐标满足的方程,从而得到动点运动的轨迹为圆,进而利用圆的相关性质解题.
【考点针对训练】
1.【2016届海南师范大学附属中学高三临考】过点且和直线相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A.      B.     C.       D.
【答案】A
2.【2016届湖北襄阳五中高三5月二模】定圆动圆过点且与圆相切,记圆心的轨迹为
(1)求轨迹的方程;
(2)设点在上运动,与关于原点对称,且,当的面积最小时,求直线的方程.
【应试技巧点拨】
1.解决直线与圆的综合问题时,一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题;另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.
2.直线与圆中三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理;两个公式:点到直线距离公式及弦长公式,其核心都是转化到与圆心、半径关系上,这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题,也可先确定主元,如本题以为主元,揭示在两个圆上运动,从而转化为两个圆有交点这一位置关系,这也是解决直线与圆问题的一个思路,即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.
3.直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与半径的关系确定,相切;相交,此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形;时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质,特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形,满足勾股定理.圆的切线问题一般利用求解,但要注意切线斜率不存在的情形,与圆有关的最值,范围问题要注意数形结合思想的运用.直线与圆中常见的最值问题:①圆外一点与圆上任一点的距离的最值.②直线与圆相离,圆上任一点到直线的距离的最值.③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.④直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值问题.⑤两圆相离,两圆上点的距离的最值.

1. 【2016届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟】已知为正实数,直线与圆相切,则的最小值是(    )
A.2    B.4    C.6    D.8
【答案】B
2. 【2016届山东省临沂十八中高三三模】已知圆,直线上至少存在一点,使得以点为圆心,半径为的圆与圆有公共点,则的最小值是(   )
A.                   B.                     C.                   D.
【答案】A
【解析】圆,由题意得,即圆到直线距离不大于2,因此,选A.
 3. 【2016届山东省潍坊一中高三下三轮冲刺】若直线与圆的两个交点关于直线对称,则的值分别为(   )
A.    B.   C.     D.
【答案】A
 4. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】已知圆的方程为,若过点的直线与此圆交于A,B两点,圆心为C,则当最小时,直线的方程为(   )
A.        B.   C.        D.
【答案】A
【解析】圆心坐标为,当弦长最短时,最小,此时直线与垂直,,所以直线的方程为,,故选A.
 5. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短弦的长为(   )
A.                       B.1                       C.2                         D.4
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标为,半径为,最短弦长为,故选C.
 6. 【2016届福建省泉州五中高三最后一卷】设,若直线与圆相切,则的取值范围是(   )
A.         B.
 C.      D.
【答案】D
 7. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周模拟】如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围为         .
【答案】
【解析】由题意知的图象定点,又直线过定点,所以①,又定点在圆的内部或圆上,所以②,由①②解得,,.所以答案应填:.
 8. 【2016届山东省临沂十八中高三三模】已知点,,点是圆上的动点,则面积的最大值与最小值之差为            .
【答案】
【解析】由于底边AB为定值,所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时,面积取最大值与最小值,因此面积的最大值与最小值之差为
 9.【2017届四川省成都市高中毕业班摸底测试】已知圆上存在两点关于直线对称,经过点作圆的切线,切点为,则_____________.
【答案】
 10. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点为抛物线的焦点,直线为准线,为抛物线上的一点(在第一象限),以点为圆心,为半径的圆与轴交于两点,且为正三角形.
(1)求圆的方程;
(2)设为上任意一点,过作抛物线的切线,切点为,判断直线与圆的位置关
【解析】(1)由已知,设圆的半径为,因为为正三角形,,因为点在抛物线上,得,即,解得:或,所以圆的方程为或.
(2)方法一:因为准线为,设,因为,所以,为切点的切线方程为:,,即,因为切线过,得,同理可得,所以直线方程为,即,圆心,,到直线距离,可得,所以时,,直线与圆相切,时,,直线与圆相交.所以直线与圆相交或相切.同理可证,直线与圆相交或相切.所以直线与圆、相交或相切.
(注:因为直线过定点,且斜率,因为在圆、上,所以直线与圆、相交或相切,这样答扣1分)
 11.【2015届甘肃省天水市一中高三第五次高考模拟考试】过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为,记,则当最小时的值为(     )
A.       B.      C.       D.
【答案】C
【解析】根据题意可知,当点距离圆心越远时,越小,所以当点距离圆心最远时,即点落在处时角达到最小,此时,所以,故选C.
12.【2015届浙江省嘉兴市高三下学期教学测试一】已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是
A.相交         B.相切           C.相离       D.与相关
【答案】D
【解析】,所以圆的圆心坐标为半径为1,则直线到圆心的距离为,所以直线与圆的位置关系是相切或相离,故应选D.
13. 【2015届四川省雅安市高三第三次诊断性考试】已知直线:与圆:交于、两点且,则(     )
A.2            B.        C.        D.
【答案】B
14.【2015届黑龙江省哈尔滨九中高三第三次高考模拟】直线与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等,则
A.或            B.或          C.            D.
【答案】B
【解析】圆的标准方程为:,由题意可得:或.
15.【2015届山东省日照市高三校际联合检测(二模)】在平面直角坐标系中,设直线与圆交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足,则r=______.
【答案】

【一年原创真预测】
1. 若圆:上的点到直线:的最小距离为2,则(   )
A.    B.    C.    D.
【答案】 D
【解析】由题意,知圆心到直线的距离为4,则,解得,故选D.
【入选理由】本题考查圆的方程,点到直线距离,直线与圆的位置关系等基础知识,意在考查学生的分析问题的能力和计算能力.本题是一个常规题,难度不大,故选此题.
2.自圆:外一点引该圆的一条切线,切点为,切线的长度等于点到原点的长,则点轨迹方程为(   )
A.  B.  C.  D.
【答案】D
【解析】由切线性质知,所以,则由,得,,化简得,即点的轨迹方程,故选D,
【入选理由】本题考查了本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识,意在考查学生分析问题,解决问题的能力,逻辑思维能力、转化能力,以及运算能力.此题由切线问题转化为直角三角形问题,由勾股定理建立方程,可得轨迹,此题构思比较巧,的确是一个好题,故选此题.
3.已知直线与圆:交于、两点,若为直角三角形,则点到点、的距离之和(    )
A.最大值为        B.最小值为        C.是一个常数        D.是一个常数
【答案】D
【入选理由】本题考查了本题考查直线被圆所截弦长以及椭圆的定义等基础知识,意在考查学生分析问题,解决问题的能力,数形结合的思想,以及运算能力.此题由已知条件确定动点的轨迹是一个椭圆,由椭圆的定义即可得距离之和,此题构思比较巧,的确是一个好题,故选此题.
4.在平面直角坐标系中,点,动点满足,动点,则线段长度的最小值为
【答案】
【解析】设,则由得,即动点在圆上运动,因为,因此动点在直线上运动,所以线段长度的最小值为
【入选理由】本题考查了本题考查圆的轨迹方程,直线轨迹方程,直线与圆位置关系等基础知识,意在考查学生分析问题,解决问题的能力,数形结合的思想,以及运算能力.此题由已知条件确定动点的轨迹是一个圆,动点的轨迹是,问题转化为圆上一点到直线距离的最小值,此题构思比较巧,的确是一个好题,故选此题.
5.已知圆经过点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)是否存在经过点的直线,它与圆相交于、两个不同点,且满足关系 
为坐标原点),如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
【入选理由】本题考查了本题考查直线和圆的位置关系、求圆的方程,求直线方程,探索性问题等基础知识,意在考查学生分析问题,解决问题的能力,数形结合思想的运用和函数与方程思想和基本运算能力.此题是圆探索性问题,作为圆,高考也出过大题,因此圆的解答题也应加强训练,故选此题.
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